Ważnym i bardzo często używanym przez inwestorów narzędziem analizy technicznej są tzw. średnie ruchome (Moving Averages), nazywane też średnimi kroczącymi. Wyróżnia się wiele odmian tych średnich. Omówimy tu 4 najczęściej stosowane, występujące w narzędziu analizy technicznej na stronie www.analizaportfelowa.pl.
Są to:
- Simple Moving Average (prosta średnia ruchoma),
- Weighted Moving Average (ważona średnia ruchoma),
- Exponential Moving Average (wykładnicza średnia ruchoma),
- Triangular Moving Average (trójkątna średnia ruchoma).
Średnie ruchome służą do wygładzania wykresu cen oraz wyznaczania trendów. Kiedy mówimy o
danej średniej, mamy na myśli średnią z cen zamknięcia, otwarcia, maksymalnych, minimalnych, średnich lub typowych dla pewnej liczby okresów z przeszłości. Najczęściej używa się jednak ceny zamknięcia.
Do najważniejszych zalet średnich ruchomych zaliczyć należy:
- filtrowanie przypadkowych ruchów cenowych (średnie ruchome wygładzają ruchy cen, usuwając nieistotne, chwilowe gwałtowne skoki),
- wskazywanie trendu głównego (dominującego dla określonego kroku uśredniania),
- określanie siły trendu przy pomocy pomiaru kąta nachylenia średniej w stosunku do osi czasu.
Średnie ruchome wyznaczane na giełdach dzielą się na średnie dla:
- bardzo krótkiego okresu: 5-13 dni,
- krótkiego okresu: 14-25 dni,
- pośredniego okresu: 26-49 dni,
- średniego okresu: 50-100 dni,
- długiego okresu: 101-200 dni.
Prosta średnia ruchoma (Simple Moving Average, SMA) jest średnią arytmetyczną \(N\) ostatnich notowań
\[SMA_N=\frac{C_0+C_{-1}+C_{-2}+\ldots+C_{-N+1}}{N},\]
gdzie \(C_0\) jest najnowszym notowaniem (np. kursem zamknięcia), zaś \(C_{-1}\)-poprzednim, itd.
Ruchomość
tej średniej polega na tym, iż każdorazowo liczona jest ona dla \(N\) ostatnich notowań, zatem za każdym razem do wzoru na średnią będą używane dodatkowo najnowsze notowania, zaś pomijane najstarsze.
Jeżeli na przykład mamy dostępne dane na temat kursów z kolejnych 20 dni:
| 10 | 13 | 15 | 12 | 10 | 11 | 14 | 15 | 15 | 16 | 15 | 17 | 18 | 19 | 15 | 14 | 16 | 16 | 17 | 16 |
i chcemy obliczyć prostą średnią ruchomą 15-okresową, to (zauważmy, że możemy to zacząć robić dopiero począwszy od 15-tej danej!) będą to wartości (z dokładnością do dwóch miejsc dziesiętnych):
\[\frac{15+19+18+17+15+16+15+15+14+11+10+12+15+13+10}{15}=\frac{215}{15}=14.33,\]
\[\frac{14+15+19+18+17+15+16+15+15+14+11+10+12+15+13}{15}=\frac{219}{15}=14.60,\]
\[\frac{16+14+15+19+18+17+15+16+15+15+14+11+10+12+15}{15}=\frac{222}{15}=14.80,\]
\[\frac{16+16+14+15+19+18+17+15+16+15+15+14+11+10+12}{15}=\frac{223}{15}=14.87,\]
\[\frac{17+16+16+14+15+19+18+17+15+16+15+15+14+11+10}{15}=\frac{228}{15}=15.20,\]
\[\frac{16+17+16+16+14+15+19+18+17+15+16+15+15+14+11}{15}=\frac{234}{15}=15.60.\]
Ważna zasada: jeżeli inwestycja ma być pewna, to kurs powinien leżeć nad średnią krótkoterminową, pod którą powinna się znajdować średnia długoterminowa.
Jeżeli ceny znajdują się powyżej średniej ruchomej, a sama średnia rośnie, to oznacza to trend wzrostowy.
Jeżeli ceny znajdują się poniżej średniej ruchomej, a sama średnia maleje, to oznacza to trend spadkowy.
Ilustrację powyższej zasady pokazuje wykres notowań sWIG-u80 z okresu 01.09.2010-26.08.2011, na którym zaznaczono ceny zamknięcia oraz prostą średnią ruchomą (20-todniową). Widać wyraźnie, że w okresach od połowy grudnia 2010 do połowy lutego 2011 oraz od połowy czerwca 2011 do końca sierpnia 2011 występowały wyraźne trendy: wzrostowy (z ceną powyżej zwiększającej się średniej) i spadkowy (z ceną poniżej obniżającej się średniej).
Sygnały płynące z dwóch średnich kroczących – metoda podwójnego przecięcia
Jeżeli na jednym wykresie umieścimy dwie średnie ruchome-krótszą i dłuższą (np. pięcio- i piętnastodniowe, albo dwudziesto- i pięćdziesięciodniowe, itp.), to sygnał kupna pojawia się w momencie, gdy krótsza średnia przetnie od dołu dłuższą średnią, zaś sygnał sprzedaży, gdy krótsza średnia przetnie od góry dłuższą średnią.
Ilustrację tej zasady widać znowu na wykresie notowań sWIG-u80 z okresu 01.09.2010-26.08.2011, na którym zaznaczono prostą średnią ruchomą (5-ciodniową) oraz prostą średnią ruchomą (20-todniową). Widać wyraźnie, że w początkach grudnia nastąpiło przecięcie krótkookresowej średniej od dołu ze średnią długookresową (sygnał kupna!). Natomiast w połowie czerwca nastąpiło przecięcie krótkookresowej średniej od góry ze średnią długookresową (sygnał sprzedaży!).
Ważona średnia ruchoma (Weighted Moving Average, WMA) jest wyznaczana dość podobnie do prostej średniej ruchomej, z tą jednak różnicą, że do notowań nowszych przykładamy większe wagi, niż do notowań starszych. Zależnie od tego, jakie wagi przyjmiemy, możemy otrzymać różne rodzaje średniej ważonej. Najpopularniejsze są jednak wagi liniowe, tzn. do najnowszej danej przykładamy wagę największą (równą ilości obserwacji historycznych, na podstawie których liczymy średnią, czyli \(N\)), do poprzedniej - o 1 mniejszą, itd.
Ścisły wzór wygląda następująco (uwaga! W literaturze można znaleźć różne postaci tej formuły, zależnie od przyjętego sposobu numeracji notowań):
\[WMA_N=\frac{N\cdot C_0+(N-1)\cdot C_{-1}+(N-2)\cdot C_{-2}+\ldots+C_{-N+1}\cdot1}{N+(N-1)+(N-2)+\ldots+1}.\]
Uwzględniając wzór na sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do \(N\) oraz zapisując sumę z mianownika w zwartej postaci uzyskujemy formułę:
\[WMA_N=\frac{\sum_{i=1}^N(N-i+1)\cdot C_{1-i}}{\frac{N\cdot(N+1)}{2}}.\]
Dla danych z tabeli, pierwsza ważona 15-okresowa średnia ruchoma, którą można policzyć, będzie wynosiła
% \[\frac{15\cdot15+14\cdot19+13\cdot18+12\cdot17+11\cdot15+10\cdot16+9\cdot15+8\cdot15+7\cdot14+6\cdot11+5\cdot10+4\cdot12+3\cdot15+2\cdot13+1\cdot10}
%{\frac{15\cdot16}{2}}\]
\[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(15-i+1)\cdot C_{1-i}}{\frac{15\cdot16}{2}}=\frac{1852}{120}=15.43\]
Wykładnicza średnia ruchoma (Exponential Moving Average, EMA) jest wyznaczana dość podobnie do ważonej średniej ruchomej, z tą jednak różnicą, że wagi nie maleją liniowo (o 1), tylko wykładniczo (każda waga, odpowiadająca dawniejszemu notowaniu jest pewnym ułamkiem poprzedniej wagi. Oznacza to, że do notowań dawniejszych przykładane są dużo mniejsze wagi (niż w przypadku ważonej średniej ruchomej)
\[EMA_N=\frac{1\cdot C_0+(1-\alpha)\cdot C_{-1}+(1-\alpha)^2\cdot C_{-2}+\ldots+(1-\alpha)^{N-1}\cdot C_{-N+1}}{1+(1-\alpha)+(1-\alpha)^2+\ldots+(1-\alpha)^{N-1}}.\]
Współczynnik \(\alpha\) nazywany jest czasem procentem wykładniczym albo stałą wygładzającą. Im mniejsza jego wartość, tym mniejszą wagę przykładamy do notowań z przeszłości.
Często przyjmuje się \(\alpha=\frac{2}{N+1}\).
Alternatywną metodą (wcale nie tożsamą z poprzednim podejściem, gdyż uwzględniającą wszystkie notowania z przeszłości!) wyznaczania wykładniczej średniej ruchomej jest skorzystanie z formuły rekurencyjnej:
\begin{equation}\label{1}
EMA_t=\alpha C_{t-1}+(1-\alpha)EMA_{t-1},\ t\geq3,
\end{equation}
gdzie przyjmujemy \(EMA_1=C_1\) (pierwsze notowanie) oraz \(EMA_2=C_2\) (drugie notowanie).
Jak widać z analizy powyższej formuły, należy przypisać pewną procentową wartość (\(\alpha\)) cenie z poprzedniego dnia, którą następnie dodaje się do procentowej wartości (\(1-\alpha\)) średniej wykładniczej z tego samego (poprzedniego) dnia. W ten sposób uzyskuje się średnią wykładniczą z danego dnia.
W literaturze można znaleźć jeszcze inne podejścia do wyznaczania wykładniczej średniej ruchomej. Niektórzy proponują użycie nieco zmodyfikowanego wzoru:
\[EMA_t=\alpha C_{t}+(1-\alpha)EMA_{t-1},\ t\geq2,\]
na podstawie którego oczywiście uzyskuje się wyniki inne, niż ze wzoru \eqref{1}.
Trójkątna średnia ruchoma (Triangular Moving Average, TMA) jest rodzajem średniej ważonej z ostatnich \(N\) cen, w której (co może nie być oczywiste na pierwszy rzut oka) największe wagi przykładane są do środkowych notowań, a mniejsze (symetrycznie!) do najnowszych i najdawniejszych.
Wyznacza się ją licząc prostą średnią ruchomą (\(k\)-okresową) z kolejnych średnich ruchomych:
\[TMA_k = \frac{SMA_0 + SMA_1 + SMA_2 + \ldots+ SMA_{N-k}}{N-k+1},\]
gdzie
\[SMA_0 = \frac{C_0 + C_{-1} + C_{-2} + \ldots + C_{-k}}{k},\]
\[SMA_1 = \frac{C_{-1} + C_{-2} + C_{-3}+ \ldots + C_{-k-1}}{k},\]
itd.
Przykładowo, jeżeli mamy \(N=6\) notowań \(C_0,C_{-1},\ldots,C_{-5}\) oraz chcemy wyznaczyć trójkątną średnią ruchomą 3-okresową (\(k=3\)), to mamy kolejno:
\[SMA_0=\frac{C_0+C_{-1}+C_{-2}}{3},\ SMA_1=\frac{C_{-1}+C_{-2}+C_{-3}}{3},\]
\[SMA_2=\frac{C_{-2}+C_{-3}+C_{-4}}{3},\ SMA_3=\frac{C_{-3}+C_{-4}+C_{-5}}{3}\]
oraz
\[TMA_3=\frac{SMA_0+SMA_1+SMA_2+SMA_3}{4}\]
\[=\frac{\frac{C_0+C_{-1}+C_{-2}}{3}+\frac{C_{-1}+C_{-2}+C_{-3}}{3}+\frac{C_{-2}+C_{-3}+C_{-4}}{3}+\frac{C_{-3}+C_{-4}+C_{-5}}{3}}{4}\]
\[=\frac{C_0+2\cdot C_{-1}+3\cdot C_{-2}+3\cdot C_{-3}+2\cdot C_{-4}+C_{-5}}{12}.\]
Istotnie widać, że wagi przy kolejnych wartościach notowań tworzą trójkąt
: \(\frac{1}{12}\), \(\frac{2}{12}\), \(\frac{3}{12}\), \(\frac{3}{12}\), \(\frac{2}{12}\), \(\frac{1}{12}\) (najpierw rosną, a potem maleją).
Tak, jak i pozostałe średnie ruchome, również i trójkątna średnia ruchoma może być używana do identyfikacji trendu (patrząc na nachylenie średniej). Jednak, dzięki dodatkowemu wygładzaniu (średnia trójkątna jest podwójną średnią ruchomą) średnie trójkątne są gładsze i bardziej faliste od prostych średnich ruchomych. Co ciekawe, średnie trójkątne często szybciej reagują na zmiany kierunków cen, mimo że większe wagi, przykładane do środkowych notowań, powinny temu przeczyć.