Jeżeli w wybranym okresie historycznym mamy wyznaczonych \(T\) stóp zwrotu akcji bądź funduszu w kolejnych podokresach historycznych, wynoszących kolejno \(R_1,R_2,\ldots,R_t\), to historyczną stopę zwrotu z inwestycji w daną akcję (fundusz) w tym okresie wyznaczamy ze wzoru
Historyczne ryzyko (rozumiane jako odchylenie standardowe stóp zwrotu) wyznaczamy wówczas ze wzoru
Za bardziej ryzykowny uznamy bowiem ten walor, który wykazywał w przeszłości większe wahania, gdyż występuje wówczas większe niebezpieczeństwo, że również i w przyszłości zmieni on gwałtownie swą wartość na niekorzyść inwestora. Odchylenie standardowe jest zaś jedną z miar rozrzutu (rozproszenia) i przyjmuje wartość tym większą, im większe były w przeszłości odchylenia stóp zwrotu od średniej historycznej stopy zwrotu. Dla nabywcy akcji (jednostek uczestnictwa w funduszu) korzystniejszy będzie zatem wybór spółki charakteryzującego się niższymi wahaniami w przeszłości, czyli niższym poziomem ryzyka. Niestety często wiąże się to jednak z niższą stopą zwrotu. Ważne jest więc dokonanie wyboru, który pogodzi chęć maksymalizowania stopy zwrotu przy jednoczesnej minimalizacji ryzyka. W wyborze tym mogą pomóc bardziej złożone wskaźniki, charakteryzujące dany walor, np. wskaźnik Treynora, wskaźnik Sharpe’a, wskaźnik Jensena, itp.
Stopa zwrotu portfela
Jeżeli inwestor posiada n walorów ryzykownych, to portfel \(\mathbf{x}\) inwestora w sensie procentowo-wartościowym (albo udziałowym) można opisać w następujący sposób:
gdzie x_i oznacza udział i-tego spółki w portfelu, czyli jest to stosunek wartości danego spółki do wartości całego portfela. Na przykład jeżeli inwestor posiada kwotę L , za którą kupił akcje n spółek, to
gdzie \(K_i\) jest kwotą przeznaczoną na zakup akcji i-tej ze spółek, czyli jest to kwota
gdzie \(C_{i,p}\) jest ceną początkową (w momencie zakupu) jednej akcji, zaś \(m_i\) ilością sztuk akcji i-tej spółki, zakupionych przez inwestora (\(i=1,\ldots,n\)). Portfel musi składać się z liczb nieujemnych. Jeżeli zaś któreś spośród x_i jest równe zeru, oznacza to, że inwestor nie zakupił w ogóle danego spółki. Portfel musi się składać także z liczb nie większych, niż jeden. Jeżeli któreś z \(x_i\) jest równe 1 , oznacza to, że inwestor za cały swój kapitał nabył akcje tylko i-tej spółki (wówczas pozostałe udziały muszą już być zerowe). Zakładamy, że łączna kwota wydana przez inwestora na zakup \(n\) akcji wynosi \(L\) (czyli \(K_1+ \ldots +K_n=L\)), zatem portfel musi składać się też z liczb sumujących się do jedynki:
Wiadomo (patrz: Historyczna stopa zwrotu), że stopa zwrotu i-tej akcji jest dana wzorem
gdzie \(C_{p,i}\) oznacza notowanie (cenę) i-tej akcji na początku ustalonego okresu inwestycyjnego, zaś \(C_{k,i}\) oznacza jej notowanie na końcu. Przez stopę zwrotu z portfela \(\mathbf{x}\) rozumiemy stosunek zysku inwestora posiadającego dany portfel do kwoty zainwestowanej w ten portfel na początku. Załóżmy, że inwestor za posiadaną kwotę \(L\) zakupuje ilości \(m_1,\ldots,m_n\) kolejnych walorów. Zatem zysk z i-tego spółki można opisać wzorem
(jest to zysk z zakupu jednej akcji pomnożony przez ilość zakupionych akcji). Stąd stopa zwrotu z portfela opisana jest wzorem
(jest to łączny zysk z zakupu wszystkich akcji z portfela podzielony przez całą zainwestowaną w te akcje kwotę). Przekształćmy ten wzór przy użyciu wcześniej podanych związków:
Dostajemy zatem ostatecznie formułę, opisującą stopę zwrotu z portfela \(\mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n)\):
Widzimy stąd więc, że stopa zwrotu z portfela \(\mathbf{x}\) może być również rozumiana, jako średnia ważona stóp zwrotu poszczególnych walorów ryzykownych, przy czym wagami są udziały tych walorów w portfelu. Opis ten często jest przyjmowany za definicję stopy zwrotu z portfela.