Wskaźnik Sortino
Wskaźnik Sortino został oficjalnie wprowadzony w roku 1994 (wówczas jeszcze nie
nazywano go w ten sposób) przez Franka Sortino i Lee N.Price'a. Pierwsze pomysły
używania tego rodzaju wskaźników pojawiły się jednak znacznie wcześniej (,,Financial
Executive Magazine'', sierpień 1980 r., ,,Journal of Risk Management'', wrzesień
1981 r.). Jest to modyfikacja wskaźnika Sharpe'a - zamiast stopy zwrotu wolnej od
ryzyka używa się minimalnej akceptowanej przez inwestora stopy zwrotu, zaś zamiast
odchylenia standardowego - semiodchylenia standardowego (które uwzględnia tylko
odchylenia in minus od minimalnej wymaganej stopy zwrotu).
Przypomnijmy, że historyczne ryzyko funduszu (bądź akcji) rozumiane jako odchylenie
standardowe liczyliśmy dotychczas ze wzoru
\[
\overline{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (R_t - \overline{R})^2}
\]
Warto zwrócić uwagę, że tak rozumiane ryzyko było tym większe, im większe były jakiekolwiek
odchylenia od przeciętnej stopy zwrotu. Jednak dla inwestorów (rozumianych jako
nabywców akcji) niebezpieczne są jedynie odchylenia w dół (odchylenia w górę są
korzystne). Dlatego rozsądnym wydaje się pomysł, aby przy wyznaczaniu ryzyka uwzględniać
jedynie odchylenia poniżej średniej stopy zwrotu (bądź ogólnie odchylenia poniżej
pewnego ustalonego poziomu). Jeżeli przez r oznaczymy minimalną wymaganą stopę zwrotu,
to historyczne ryzyko, rozumiane jako semiodchylenie standardowe, wyznaczmy ze wzoru
\[
\overline{\theta}(r) = \sqrt{\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T \left[(R_t-r)^-\right]^2}
\]
gdzie $(R_t-r)^-=R_t-r$ gdy $R_t-r \leq 0$ lub
$0$ gdy $R_t-r > 0$ . Widzimy, że wyrażenie $(R_t-r)^-$
uwzględnia właśnie jedynie odchylenia w dół od wymaganej minimalnej stopy zwrotu.
O ile odchylenie $R_t-r$ jest dodatnie, wyrażenie to przyjmuje wartość 0
i takiej wielkości nie dolicza się do ryzyka.
Historyczny wskaźnik Sortino można więc wyznaczyć ze wzoru
\[
\mathrm{Sort} = \frac{\overline{R}-r}{\overline{\theta}(r)}
\]
gdzie
- $\overline{R}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T R_t$ jest historyczną stopą zwrotu funduszu (bądź akcji), przy czym $R_t$
to stopa zwrotu funduszu (akcji) w podokresie historycznym o numerze $t$,
- r jest minimalną wymaganą przez inwestora stopą zwrotu (minimum acceptable return,
MAR); za $r$ niektórzy radzą przyjęcie poziomu 0, czasem przyjmuje się historyczną
stopę zwrotu pozbawioną ryzyka $\overline{\mu}_0$ ,
jednak w swojej pracy z 1994 roku Sortino i Price sugerują przyjęcie za r stopy
zwrotu z portfela rynkowego (reprezentującego wybrany indeks),
- $\overline{\theta}(r)=\sqrt{\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T[(R_t-r)^-]^2}$ to historyczne ryzyko funduszu
(bądź akcji).
Uwaga: Z formalnego punktu widzenia historyczne semiodchylenie
standardowe to wielkość
\[
\overline{\theta}=\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T [(R_t-\overline{R})^- ]^2},
\]
czyli odchylenie od średniej historycznej stopy zwrotu. Często jednak nazywa się
tak odchylenia od dowolnego ustalonego poziomu i my przyjmujemy również taką konwencję.