Wskaźnik Modiglianich
Wskaźnik Modiglianich (Modigliani-Modigliani Ratio, Modigliani Index; $M^2$
Index) został wprowadzony w 1997 r. przez Franco Modiglianiego - ekonomistę amerykańskiego
urodzonego we Włoszech (laureata nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii w 1985 r.)
oraz jego wnuczkę - Leah Modigliani. Chociaż opisany wiele lat wcześniej wskaźnik
Sharpe'a cieszy się w środowisku akademickim oraz w wielu instytucjach dużą popularnością,
nie jest wciąż dobrze znany ogółowi inwestorów. Zaproponowany przez Modiglianich
wskaźnik stanowi porównanie wyników funduszu z inwestycją pasywną w indeks stabilizowaną
walorem pozbawionym ryzyka. Jest to różnica w punktach procentowych pomiędzy zrealizowaną
stopą zwrotu a stopą zwrotu uzyskaną z portfela rynkowego skorygowanego o poziom
ryzyka. Warto zauważyć, że rankingi stworzone według wskaźników Sharpe'a i Modiglianich
są identyczne; jednak ponieważ wskaźnik Modiglianich jest wielkością wyrażoną w
procentach, uważa się, że może być ona bardziej "przyjazna" dla inwestorów.
Historyczny wskaźnik Modiglianich wyznacza się za pomocą formuły
\[
M^2=\overline{\mu}_0-\overline{F}+\frac{\overline{R}-\overline{\mu}_0}{\overline{\sigma}}\sigma_F
\]
gdzie
- $\overline{\mu}_0$ jest historyczną stopą zwrotu pozbawioną ryzyka,
- $\overline{R}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T R_t$ jest historyczną stopą zwrotu funduszu (bądź akcji), przy czym $R_t$
to stopa zwrotu funduszu (akcji) w podokresie historycznym o numerze $t$,
- $\overline{F}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T F_t$ jest historyczną stopą zwrotu (zmian) odpowiedniego indeksu, przy
czym $F_t$, $t=1,\ldots,T$ to stopa zwrotu (zmian) wybranego indeksu w podokresie
historycznym o numerze $t$,
- $\overline{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (R_t-\overline{R})^2}$ to historyczne
ryzyko funduszu (akcji),
- $\sigma_F=\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (F_t-\overline{F})^2}$ to historyczne
ryzyko portfela odtwarzającego indeks $F$ (czyli historyczne ryzyko rynkowe).
Interpretacja ekonomiczna tego wskaźnika jest następująca: Jeżeli skonstruujemy
portfel składający się z walorów z portfela interesującego nas funduszu oraz dodatkowo
z spółki bezryzykownego dobranych w takiej proporcji, aby ryzyko naszego portfela
było równe ryzyku rynkowemu (ryzyku wybranego indeksu), to wskaźnik Modiglianich
będzie równy zrealizowanej stopie zwrotu z naszego portfela, pomniejszonej o historyczną
stopę zwrotu z indeksu. Jeżeli przez S oznaczymy wskaźnik Sharpe'a funduszu (akcji),
to wskaźnik Modiglianich możemy zapisać w uproszczonej postaci:
\[
M^2=\overline{\mu}_0-\overline{F}+S\sigma_F,
\]
skąd widać, że wskaźnik Modiglianich jest związany ze wskaźnikiem Sharpe'a prostą
zależnością liniową. Zatem rzeczywiście, jak już wcześniej wspomnieliśmy, rankingi
według wskaźników Sharpe'a i Modiglianich są takie same. Jednak wskaźnik Sharpe'a
jest wyrażany w dość abstrakcyjnych jednostkach (jednostki stopy zwrotu na jednostki
ryzyka), podczas gdy wskaźnik Modiglianich wyrażany jest w punktach procentowych
(jest to zwykła stopa zwrotu portfela funduszu poprawionego w taki sposób, by
jego ryzyko było takie jak ryzyko portfela rynkowego), co powinno czynić go bardziej
zrozumiałym dla inwestorów.
Warto jeszcze zwrócić uwagę, że w niektórych opracowaniach można również spotkać
nieco inną definicję wskaźnika Modiglianich, mianowicie
\[
M^2=\overline{\mu}_0+\frac{\overline{R}-\overline{\mu}_0}{\overline{\sigma}}\sigma_F
\]
gdzie nie odejmujemy dodatkowo historycznej stopy zwrotu $\overline{F}$ z indeksu.