Historyczne ryzyko
Jeżeli w wybranym okresie historycznym mamy wyznaczonych $T$ stóp zwrotu akcji bądź
funduszu w kolejnych podokresach historycznych, wynoszących kolejno $R_1,R_2,\ldots,R_t$,
to historyczną stopę zwrotu z inwestycji w daną akcję (fundusz) w tym okresie wyznaczamy
ze wzoru
\[
\overline{R}=1/T \sum_{t=1}^T R_t.
\]
Historyczne ryzyko (rozumiane jako odchylenie standardowe stóp
zwrotu) wyznaczamy wówczas ze wzoru
\[
\sigma=\sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (R_t-\overline{R})^2}.
\]
Za bardziej ryzykowny uznamy bowiem ten walor, który wykazywał w przeszłości większe
wahania, gdyż występuje wówczas większe niebezpieczeństwo, że również i w przyszłości
zmieni on gwałtownie swą wartość na niekorzyść inwestora. Odchylenie standardowe
jest zaś jedną z miar rozrzutu (rozproszenia) i przyjmuje wartość tym większą, im
większe były w przeszłości odchylenia stóp zwrotu od średniej historycznej stopy
zwrotu. Dla nabywcy akcji (jednostek uczestnictwa w funduszu) korzystniejszy będzie
zatem wybór spółki charakteryzującego się niższymi wahaniami w przeszłości, czyli
niższym poziomem ryzyka. Niestety często wiąże się to jednak z niższą stopą zwrotu.
Ważne jest więc dokonanie wyboru, który pogodzi chęć maksymalizowania stopy zwrotu
przy jednoczesnej minimalizacji ryzyka. W wyborze tym mogą pomóc bardziej złożone
wskaźniki, charakteryzujące dany walor, np. wskaźnik Treynora, wskaźnik Sharpe'a,
wskaźnik Jensena, itp.
Ryzyko portfela
Ryzyko portfela, rozumiane jako odchylenie standardowe stopy zwrotu tego portfela,
opisane jest formułą
\[
\sigma(\mathbf{x})=\sqrt{\sum_{i,j=1}^nx_i x_j \sigma_{i,j}},
\]
gdzie $\sigma_{i,j}$ jest kowariancją stóp zwrotu walorów i-tego i j-tego.
Historyczną kowariancję dla pary walorów wyznacza się ze wzoru
\[
\sigma_{i,j}=\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T
(R_{i,t}-\overline{R}_i) (R_{j,t}-\overline{R}_j)
\]
gdzie $R_{i,t}$ oznacza stopę zwrotu i-tego spółki w podokresie historycznym
o numerze $t$ ( $t=1,\ldots,T$ ), zaś $\overline{R}_i$ jest
średnią historyczną stopą zwrotu z i-tego spółki, wyznaczaną ze wzoru
\[
\overline{R}_i=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T R_{i,t}.
\]