Historyczna stopa zwrotu

Załóżmy, że interesujący nas okres historyczny dzieli się na $T$ podokresów historycznych równej długości (np. okres dwóch miesięcy dzieli się na 8 tygodniowych podokresów historycznych). Jednookresową stopą zwrotu (np. tygodniową, miesięczną, itp.) z inwestycji w daną akcję (fundusz) w tym okresie nazywa się stosunek zysku (może on być ujemny!) z zakupu tej akcji (jednostek uczestnictwa funduszu) do początkowego kursu (zakładamy że kursy akcji uwzględniają już ewentualne wypłacane dywidendy). Jeżeli więc na początku ustalonego podokresu historycznego o numerze $t \in \{1,\ldots,T\}$ (tygodnia, miesiąca, itp.) dana akcja miała notowanie $C_p$ (bądź jest to cena jednostki uczestnictwa w funduszu), zaś na końcu notowanie (cenę jednostki uczestnictwa) $C_k$, to stopa zwrotu w tym podokresie historycznym jest równa

Warto zauważyć, że stopa zwrotu może być wielkością dowolnie wielką, jednak najmniejszą jej wartością jest -1 , co odpowiada sytuacji, gdy notowanie $C_k$ na końcu interesującego nas okresu wyniesie 0 , czyli gdy stracimy wszystkie zainwestowane pieniądze. Jeżeli w wybranym okresie historycznym mamy wyznaczonych T stóp zwrotu, wynoszących kolejno $R_1,R_2,\ldots,R_t$, to historyczną (jednookresową) stopę zwrotu (czasem nazywa się ją prostą stopą zwrotu, albo również oczekiwaną stopą zwrotu) z inwestycji w tym okresie liczymy ze wzoru

czyli jest to zwykła średnia arytmetyczna poszczególnych stóp zwrotu. Jeżeli na przykład interesuje nas historyczna tygodniowa stopa zwrotu akcji pewnej spółki, wyznaczona na podstawie danych z ostatnich dwóch miesięcy, to będzie ona wynosiła

gdzie $R_1,R_2,\ldots R_8% to stopy zwrotu akcji w kolejnych podokresach historycznych (czyli w tym wypadku w kolejnych tygodniach). Oczywiście im wyższa jest historyczna stopa zwrotu danej akcji (funduszu), tym korzystniejszy wydaje się zakup tej akcji, bądź jednostek uczestnictwa w funduszu. Należy pamiętać jednak, że przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych warto oprócz samych stóp zwrotu uwzględnić również i ryzyko, jakie wiąże się z możliwymi wahaniami cen akcji (jednostek uczestnictwa w funduszu).

Oprócz prostej stopy zwrotu, omówionej powyżej, wykorzystywane jest także w praktyce drugie podejście, mianowicie tzw. logarytmiczna stopa zwrotu. Odpowiada ona kapitalizacji ciągłej, co jest bardziej zgodne z zasadami inwestowania, gdyż po sprzedaży danego instrumentu uzyskane środki finansowe mogą być niemal natychmiast inwestowane w inne instrumenty. Jeżeli na początku ustalonego podokresu historycznego o numerze $t \in \{1,\ldots,T\}$ (tygodnia, miesiąca, itp.) dana akcja miała notowanie $C_p$ (bądź jest to cena jednostki uczestnictwa w funduszu), zaś na końcu notowanie (cenę jednostki uczestnictwa) $C_k$, to jednookresowa logarytmiczna stopa zwrotu w tym podokresie historycznym jest równa

Warto zauważyć, że logarytmiczna stopa zwrotu może być wielkością dowolnie dużą, ale (w odróżnieniu od prostej stopy zwrotu) i dowolnie małą, bowiem gdyby notowanie $C_k$ na końcu interesującego nas okresu zbliżało się 0 , czyli gdybyśmy stracili niemal wszystkie zainwestowane pieniądze, to logarytmiczna stopa zwrotu będzie zbliżała się do $-\infty$ . Ponadto logarytmiczna stopa zwrotu jest wielkością addytywną, co między innymi ułatwia jej wyznaczanie. Jeżeli bowiem mamy wyznaczone jednookresowe logarytmiczne stopy zwrotu $R_1,R_2,\ldots,R_t$ za okresy $[1,2], [2,3],\ldots, [T-1,T]$, to aby wyznaczyć wielkość jednookresowej logarytmicznej stopy zwrotu za okres $[1,T]$ wystarczy obliczyć sumę logarytmicznych jednookresowych stóp zwrotu za okresy $[1,2], [2,3],\ldots, [T-1,T]$. Rzeczywiście, zachodzi równość:

Warto jeszcze odnotować fakt, iż logarytmiczna stopa zwrotu jest nie większa od prostej stopy zwrotu za ten sam okres. Wynika to z nierówności

zachodzącej dla dowolnych $x > -1$. Logarytmiczna stopa zwrotu może być bowiem zapisana w postaci

i po skorzystaniu z nierówności dla $x=\frac{(C_k-C_p)}{C_p}$ dostajemy:

a prawa strona powyższej nierówności równa jest właśnie jednookresowej prostej stopie zwrotu.

Historyczne ryzyko

Jeżeli w wybranym okresie historycznym mamy wyznaczonych $T$ stóp zwrotu akcji bądź funduszu w kolejnych podokresach historycznych, wynoszących kolejno $R_1,R_2,\ldots,R_t$, to historyczną stopę zwrotu z inwestycji w daną akcję (fundusz) w tym okresie wyznaczamy ze wzoru

Historyczne ryzyko (rozumiane jako odchylenie standardowe stóp zwrotu) wyznaczamy wówczas ze wzoru

Za bardziej ryzykowny uznamy bowiem ten walor, który wykazywał w przeszłości większe wahania, gdyż występuje wówczas większe niebezpieczeństwo, że również i w przyszłości zmieni on gwałtownie swą wartość na niekorzyść inwestora. Odchylenie standardowe jest zaś jedną z miar rozrzutu (rozproszenia) i przyjmuje wartość tym większą, im większe były w przeszłości odchylenia stóp zwrotu od średniej historycznej stopy zwrotu. Dla nabywcy akcji (jednostek uczestnictwa w funduszu) korzystniejszy będzie zatem wybór spółki charakteryzującego się niższymi wahaniami w przeszłości, czyli niższym poziomem ryzyka. Niestety często wiąże się to jednak z niższą stopą zwrotu. Ważne jest więc dokonanie wyboru, który pogodzi chęć maksymalizowania stopy zwrotu przy jednoczesnej minimalizacji ryzyka. W wyborze tym mogą pomóc bardziej złożone wskaźniki, charakteryzujące dany walor, np. wskaźnik Treynora, wskaźnik Sharpe'a, wskaźnik Jensena, itp.

Stopa zwrotu portfela

Jeżeli inwestor posiada n walorów ryzykownych, to portfel $\mathbf{x}$ inwestora w sensie procentowo-wartościowym (albo udziałowym) można opisać w następujący sposób:

gdzie x_i oznacza udział i-tego spółki w portfelu, czyli jest to stosunek wartości danego spółki do wartości całego portfela. Na przykład jeżeli inwestor posiada kwotę L , za którą kupił akcje n spółek, to

gdzie $K_i$ jest kwotą przeznaczoną na zakup akcji i-tej ze spółek, czyli jest to kwota

gdzie $C_{i,p}$ jest ceną początkową (w momencie zakupu) jednej akcji, zaś $m_i$ ilością sztuk akcji i-tej spółki, zakupionych przez inwestora ($i=1,\ldots,n$). Portfel musi składać się z liczb nieujemnych. Jeżeli zaś któreś spośród x_i jest równe zeru, oznacza to, że inwestor nie zakupił w ogóle danego spółki. Portfel musi się składać także z liczb nie większych, niż jeden. Jeżeli któreś z $x_i$ jest równe 1 , oznacza to, że inwestor za cały swój kapitał nabył akcje tylko i-tej spółki (wówczas pozostałe udziały muszą już być zerowe). Zakładamy, że łączna kwota wydana przez inwestora na zakup $n$ akcji wynosi $L$ (czyli $K_1+ \ldots +K_n=L$), zatem portfel musi składać się też z liczb sumujących się do jedynki:

Wiadomo (patrz: Historyczna stopa zwrotu), że stopa zwrotu i-tej akcji jest dana wzorem

gdzie $C_{p,i}$ oznacza notowanie (cenę) i-tej akcji na początku ustalonego okresu inwestycyjnego, zaś $C_{k,i}$ oznacza jej notowanie na końcu. Przez stopę zwrotu z portfela $\mathbf{x}$ rozumiemy stosunek zysku inwestora posiadającego dany portfel do kwoty zainwestowanej w ten portfel na początku. Załóżmy, że inwestor za posiadaną kwotę $L$ zakupuje ilości $m_1,\ldots,m_n$ kolejnych walorów. Zatem zysk z i-tego spółki można opisać wzorem

(jest to zysk z zakupu jednej akcji pomnożony przez ilość zakupionych akcji). Stąd stopa zwrotu z portfela opisana jest wzorem

(jest to łączny zysk z zakupu wszystkich akcji z portfela podzielony przez całą zainwestowaną w te akcje kwotę). Przekształćmy ten wzór przy użyciu wcześniej podanych związków:

Dostajemy zatem ostatecznie formułę, opisującą stopę zwrotu z portfela $\mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n)$:

Widzimy stąd więc, że stopa zwrotu z portfela $\mathbf{x}$ może być również rozumiana, jako średnia ważona stóp zwrotu poszczególnych walorów ryzykownych, przy czym wagami są udziały tych walorów w portfelu. Opis ten często jest przyjmowany za definicję stopy zwrotu z portfela.