Współczynnik beta
Współczynnik beta akcji (funduszu, portfela akcji) jest miarą zmienności tej akcji
(funduszu) odniesioną do reszty rynku. Inaczej mówiąc, jest to miara ryzyka związana
z daną akcją (funduszem). Jest to współczynnik informujący, z jaką siłą stopy zwrotu
akcji (funduszu) reagują na stopy zwrotu wybranego indeksu charakteryzującego rynek
jako całość, bądź wybrany sektor rynku (najczęściej wybiera się do tego celu indeks
WIG, bądź WIG20, ale można też, np. w zależności od akcji danej spółki, stosować
inne indeksy, np. indeksy branżowe).
W przypadku większości funduszy współczynnik ten zawiera się w przedziale od zera
do jedynki. Współczynnik bliski jedności sugeruje, że wahania wartości jednostki
uczestnictwa są zbliżone do zmian wybranego indeksu. W przypadku funduszy papierów
wierzycielskich beta oscyluje wokół zera. W przypadku funduszy agresywnych - jedności.
Jeżeli współczynnik beta danej akcji jest większy niż 1 , to stopa zwrotu tej akcji
wzrasta (lub spada) w przybliżeniu o więcej, niż stopa zwrotu czynnika objaśniającego
- indeksu giełdowego (jest to tzw. walor agresywny). Zatem należy ten walor
posiadać w czasie dobrej koniunktury i nie należy go posiadać w czasie złej koniunktury.
Jeżeli współczynnik beta danej akcji jest ułamkiem w przedziału (0,1) , to stopa
zwrotu tej akcji wzrasta (lub spada) w przybliżeniu o mniej niż stopa zwrotu czynnika
objaśniającego (jest to tzw. walor defensywny). Zatem tego spółki nie należy
posiadać w czasie dobrej koniunktury i można ewentualnie posiadać w czasie złej
koniunktury.
Jeżeli współczynnik beta danej akcji jest liczbą ujemną, to stopa zwrotu tej akcji
spada (rośnie), gdy stopa zwrotu (zmian) indeksu wzrasta (spada). Zatem ten walor
należy posiadać w czasie złej koniunktury i nie należy go posiadać w czasie koniunktury
dobrej.
Historyczny współczynnik beta akcji (funduszu) względem stopy zmian
ustalonego indeksu wyznaczany jest z dowolnego ze wzorów
\[
\overline{\beta}= \frac{\sum_{t=1}^T (R_t-\overline{R}) (F_t-\overline{F})}{\sum_{t=1}^T (F_t-\overline{F})^2}
\]
lub inaczej
\[
\overline{\beta}= \frac{\sum_{t=1}^T R_tF_t-T\overline{R}\overline{F}}{\sum_{t=1}^T F_t^2-T (\overline{F})^2}
\]
gdzie
- $\overline{R}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T R_t$ jest historyczną stopą zwrotu akcji (bądź funduszu), przy czym $R_t$
to stopa zwrotu akcji (funduszu) w podokresie historycznym o numerze $t$,
- $\overline{F}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T F_t$ jest historyczną stopą zwrotu (zmian) odpowiedniego indeksu, przy
czym $F_t$, $t=1,\ldots,T$ to stopa zwrotu (zmian) wybranego indeksu w podokresie
historycznym o numerze $t$ (wszystkie $F_t$ nie mogą być sobie równe!).
Zwykle przy estymacji współczynników beta wybiera się tygodniowe lub miesięczne
podokresy historyczne dla pięcioletniego okresu historycznego. Zauważmy, że przy
tym podejściu przykładamy jednakową wagę do wszystkich podokresów historycznych.
Jeżeli jednak chcielibyśmy większą wagę przykładać do podokresów historycznych mniej
odległych w czasie, to możemy zastosować estymator historycznego współczynnika beta,
uzyskany za pomocą tzw. wygładzania wykładniczego. Niech $0 < \lambda < 1$ będzie dowolną stałą. Przyjmujemy wówczas dla t=0,1,\ldots,T wagi
\[
p_t = \frac{\lambda_{T-t}}{\lambda_T + \ldots +\lambda+1}
\]
Wówczas historyczny współczynnik beta wyznaczamy ze wzoru:
\[
\beta_w = \frac{\sum_{t=1}^T (R_t-R_w) (F_t-F_w)}{\sum_{t=1}^T (F_t-F_w )^2}
\]
gdzie
\[
F_w=\sum_{t=1}^Tp_tF_t, \qquad R_w=\sum_{t=1}^Tp_tR_t.
\]
Współczynnik beta portfela
Jeżeli inwestor posiada portfel w sensie udziałowym (procentowo-wartościowym)
\[
\mathbf{x}=(x_1, \ldots, x_n)
\]
(patrz: stopa zwrotu i ryzyko portfela) oraz
\[
\beta_1,\ldots,\beta_n
\]
są współczynnikami beta odpowiednich walorów ryzykownych (patrz: współczynnik beta),
to współczynnik beta portfela $\mathbf{x}$ wynosi
\[
\beta_{\mathbf{x}}=\beta_1 x_1+ \ldots +\beta_n x_n,
\]
czyli jest to ważona udziałami w portfelu suma współczynników beta poszczególnych
walorów. Można wykazać, że zachodzi też następujący związek:
\[
\beta_{\mathbf{x}} = \frac{\mathrm{Cov}(\mathbf{x}, \mathbf{x}_m)}{\sigma^2(\mathbf{x}_m)}
\]
oznaczający, iż współczynnik beta portfela jest stosunkiem kowariancji stopy zwrotu
portfela $\mathbf{x}$ ze stopą zwrotu portfela rynkowego $\mathbf{x}_m$ i wariancji
stopy zwrotu z portfela rynkowego. Innymi słowy, współczynnik beta portfela $\mathbf{x}$
może być rozumiany, jako względna miara skorelowania rentowności portfela $\mathbf{x}$
z rentownością rynku, odniesiona do kwadratu ryzyka inwestowania na rynku, jako
całości. Korzystając z tego związku pokazuje się, że w szczególności współczynnik
beta portfela rynkowego wynosi 1 .
Jeżeli współczynnik beta portfela $\mathbf{x}$ jest większy od 1, to taki portfel nazywamy
portfelem agresywnym. W tym przypadku oczekiwana stopa zwrotu tego
portfela jest większa, niż oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego. Jeżeli współczynnik
beta portfela $\mathbf{x}$ jest równy 1 , to taki portfel nazywamy portfelem neutralnym.
W tym przypadku oczekiwana stopa zwrotu tego portfela jest taka sama, jak stopa
oczekiwana zwrotu portfela rynkowego.
Jeżeli współczynnik beta portfela $\mathbf{x}$ jest mniejszy od 1, lecz dodatni, to
taki portfel nazywamy portfelem defensywnym. W tym przypadku oczekiwana
stopa zwrotu tego portfela jest mniejsza, niż oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego,
lecz większa, niż stopa zwrotu spółki pozbawionego ryzyka.
Jeżeli współczynnik beta portfela $\mathbf{x}$ jest równy 0, to taki portfel nie reaguje
na zmiany rynku (czyli jest wolny od ryzyka rynku). W tym przypadku oczekiwana stopa
zwrotu tego portfela jest równa stopie zwrotu spółki pozbawionego ryzyka (i mniejsza,
niż oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego).
Jeżeli współczynnik beta portfela $\mathbf{x}$ jest mniejszy niż 0, to taki portfel
reaguje na zmiany odwrotnie, niż rynek. W tym przypadku oczekiwana stopa zwrotu
tego portfela jest mniejsza, niż oczekiwana stopa zwrotu spółki pozbawionego ryzyka
(i tym bardziej mniejsza, niż oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego).
Stopa zwrotu portfela rynkowego to inaczej przeciętna stopa zwrotu z rynku. Określa
się ją dzięki wykorzystaniu indeksów giełdowych, charakteryzujących rynek jako całość
(np. indeks WIG). Jeżeli $F_1,\ldots,F_t$ są stopami zwrotu (zmian)
wybranego indeksu w podokresach historycznych o numerach $1,\ldots,T$, to oczekiwaną
stopę zwrotu portfela rynkowego $\mathbf{x}_m$ wyznacza się z zależności
\[
E(\mathbf{x}_m)=\overline{F},
\]
gdzie
\[
\overline{F}=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T F_t
\]
jest historyczną stopą zwrotu (zmian) wybranego indeksu.